GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Rhombendodekaeder</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Rhombendodekaeder</span></h1>

</header>

</div>

<p>Das <b>Rhombendodekaeder</b> ist ein <a href="Polyeder" title="Polyeder">Polyeder</a> mit zwölf <a href="Raute" title="Raute">rhombenförmigen</a> Flächen, 14 Ecken und 24 Kanten. An sechs der Ecken grenzen vier Kanten und an die übrigen acht Ecken grenzen drei Kanten.

</p><p>Es ist ein <a href="Catalanischer_K%C3%B6rper" title="Catalanischer Körper">catalanischer Körper</a> und <a href="Dualit%C3%A4t_(Mathematik)#Dualität_von_Polytopen" title="Dualität (Mathematik)">dual</a> zum <a href="Kuboktaeder" title="Kuboktaeder">Kuboktaeder</a>. Das Rhombendodekaeder ist auch der <a href="Bounding_Volume" class="mw-redirect" title="Bounding Volume">Hüllkörper</a>, der durch die Vereinigungsmenge der Durchdringung eines <a href="Hexaeder" title="Hexaeder">Hexaeders</a> (Würfel) und eines <a href="Oktaeder" title="Oktaeder">Oktaeders</a> beschrieben wird.

</p><p>Wird ein Hexaeder „umgekrempelt“, entsteht ein Rhombendodekaeder. Jede Seite des Hexaeders beschreibt eine <a href="Pyramide_(Geometrie)" title="Pyramide (Geometrie)">Pyramide</a> mit dem Mittelpunkt des Hexaeders als Spitze. Diese Pyramiden werden, mit den Hexaederseiten nach innen, zusammengesetzt (also auf die Hexaederseiten aufgesetzt). Es entsteht ein Rhombendodekaeder mit dem einbeschriebenen Hexaeder als Hohlform.

Daraus folgt, dass das Volumen eines Rhombendodekaeders doppelt so groß ist wie das eines Hexaeders mit der Kantenlänge der kleinen <a href="Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalen</a> der Seitenflächen.

</p><p>Das Rhombendodekaeder entsteht ebenfalls durch die Anwendung eines ähnlichen Vorgangs auf das Oktaeder.

</p><p>Mehrere Rhombendodekaeder <a href="Raumf%C3%BCllung" title="Raumfüllung">füllen den Raum</a> lückenlos aus, wenn sie – wie in der nebenstehenden Grafik gezeigt – aneinandergefügt werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verwandte_Polyeder">Verwandte Polyeder</h2></div>

<div class="gallerytext"><a href="Hexakisoktaeder" title="Hexakisoktaeder">Hexakisoktaeder</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Deltoidalikositetraeder" title="Deltoidalikositetraeder">Deltoidalikositetraeder</a></div>

</li>

</ul>

<p>Werden auf die 12 Begrenzungsflächen des Rhombendodekaeders<sup id="cite_ref-a_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-a-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <a href="Pyramide_(Geometrie)" title="Pyramide (Geometrie)">Pyramiden</a> mit den Flankenlängen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\,(<b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\,(<b)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ccf7907a0fd3264266c3b30ed33020d9b63d263.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.654ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c\,(<b)}" loading="lazy"></span> aufgesetzt, entsteht ein allgemeines <a href="Hexakisoktaeder" title="Hexakisoktaeder">Hexakisoktaeder</a>, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {a}{3}}{\sqrt {6}}<b<{\tfrac {2}{9}}a{\sqrt {15}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e976af0f71a6cc33727ae6eea53a1ce01d127f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:19.147ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a}{3}}{\sqrt {6}}<b<{\tfrac {2}{9}}a{\sqrt {15}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<ul><li>Das spezielle Hexakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> entsteht, wenn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=2a\,({\sqrt {2}}-1)}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=2a\,({\sqrt {2}}-1)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d94b6fecdbb16d14c38bcaaff9a384d6f8903aa1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.786ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle b=2a\,({\sqrt {2}}-1)}" loading="lazy"></span> ist.</li>

<li>Nimmt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisoktaeder zu einem <a href="Deltoidalikositetraeder" title="Deltoidalikositetraeder">Deltoidalikositetraeder</a> mit den Kantenlängen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formeln">Formeln</h2></div>

<p>Die folgende Tabelle enthält metrische Eigenschaften eines Rhombendodekaeders und dessen Rhomben mit einer Kantenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> und Länge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> der kleinen Rhombusdiagonalen. Die Formeln werden im nächsten Abschnitt hergeleitet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Für_das_Polyeder"><span id="F.C3.BCr_das_Polyeder"></span>Für das Polyeder</h3></div>

<th colspan="2" style="background:#C0C0FF">Größen eines Rhombendodekaeders

</th></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a></b>

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {16}{9}}\,a^{3}{\sqrt {3}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e67440869046c9f2ddef2d1ba848e2f0732ce6ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.816ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V={\frac {16}{9}}\,a^{3}{\sqrt {3}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Oberflächeninhalt</a></b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{O}\,=8\,a^{2}{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61782d4561bbd42284330549feb0ed8d9ee7a8dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.647ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A_{O}\,=8\,a^{2}{\sqrt {2}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="Inkugel" title="Inkugel">Inkugelradius</a></b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{i}={\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7a7f257ac60c2877c94df6a3e7c246aa26b8017.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.111ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle r_{i}={\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="Umkugel" title="Umkugel">Umkugelradius</a></b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{u}=f={\frac {2a}{3}}{\sqrt {3}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/112484e6dd6992a6ef0f26cb9e052adde567d102.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.023ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r_{u}=f={\frac {2a}{3}}{\sqrt {3}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="Kantenkugel" title="Kantenkugel">Kantenkugelradius</a></b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k}={\frac {2a}{3}}{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51597f0880abf6722303bfcd8f720deff3f8e609.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.563ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r_{k}={\frac {2a}{3}}{\sqrt {2}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b>Flächenwinkel</b>

</td>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =120^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b063a232bf1c6c31ba34b1b1eddcd0e0594c2c41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.972ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \beta =120^{\circ }}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b>Flächen-Kanten-Winkel<br> ≈ 125° 15′ 52″</b>

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \,\gamma =-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13740e4d13bd57108b1599cc2af6e2a4f4f4b9bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.151ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \cos \,\gamma =-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b>1. Ecken<a href="Raumwinkel" title="Raumwinkel">raumwinkel</a><br> (3 Flächen)</b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega _{3}=\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/972522ee5c7b70d19631a8773a9dfbf6533916c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.163ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Omega _{3}=\pi }" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b>2. Eckenraumwinkel<br>  (4 Flächen)</b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega _{4}={\frac {2}{3}}\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac87378b9095ad7829e90e54742a183d14915e2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.161ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega _{4}={\frac {2}{3}}\pi }" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b> <a href="Sph%C3%A4rizit%C3%A4t_(Geologie)" title="Sphärizität (Geologie)">Sphärizität</a><br>  ≈ 0,9047</b>

</td>

<mfrac>

<mroot>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mroot>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{18\,\pi }}{3{\sqrt {2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b65a814c3c3f38c083cff07f8e3e9a51bb690152.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:11.723ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{18\,\pi }}{3{\sqrt {2}}}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Für_die_Rhomben"><span id="F.C3.BCr_die_Rhomben"></span>Für die Rhomben</h3></div>

<th colspan="2" style="background:#C0C0FF">Größen der Rhomben

</th></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a></b>

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {2}{3}}a^{2}{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/159c57039dde07c933cfc995626343243085d335.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.223ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {2}{3}}a^{2}{\sqrt {2}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreisradius</a></b>

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ={\frac {a}{3}}{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c9e0d1073a256391c9536fba90243293048ea26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.465ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \rho ={\frac {a}{3}}{\sqrt {2}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b>Lange Diagonale</b>

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e={\frac {2}{3}}a{\sqrt {6}}=f{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8515e7a75ac5377bb3a2b92fddd51c91986c95d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.984ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle e={\frac {2}{3}}a{\sqrt {6}}=f{\sqrt {2}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b>Kurze Diagonale</b>

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f={\frac {2}{3}}a{\sqrt {3}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e31e563462a5cffb8a5c4935e387d1a1ccdf09a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.704ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f={\frac {2}{3}}a{\sqrt {3}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="Spitzer_Winkel" class="mw-redirect" title="Spitzer Winkel">Spitze Winkel</a> (2)<br> ≈ 70° 31′ 44″</b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \,\delta _{1}={\frac {1}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43fc4587c32c1f19c1f30419bb1d367e7ab12c49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.069ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \cos \,\delta _{1}={\frac {1}{3}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="Stumpfer_Winkel" title="Stumpfer Winkel">Stumpfe Winkel</a> (2)<br> ≈ 109° 28′ 16″</b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \,\delta _{2}=-{\frac {1}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28d5cb6033627f7e74761546afe4056763e3257f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.877ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \cos \,\delta _{2}=-{\frac {1}{3}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Herleitung_der_Formeln">Herleitung der Formeln</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einbeschriebener_Würfel"><span id="Einbeschriebener_W.C3.BCrfel"></span>Einbeschriebener Würfel</h3></div>

<p>Ein Rhombendodekaeder kann man sich aus einem Würfel (Kantenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span>) und auf den 6 Seitenflächen errichteten quadratischen Pyramiden entstanden denken (siehe Bild). Da je zwei Pyramiden-Dreiecke, die eine Würfelkante gemeinsam haben, einen Rhombus bilden müssen, gilt für die <i>Pyramidenhöhe</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\tfrac {f}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\tfrac {f}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50d99bcf3cf26dcd64e0dbcb6dc46b679f4b9c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:6.178ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle h={\tfrac {f}{2}}}" loading="lazy"></span>.

Die <i>kurze Diagonale</i> eines Rhombus hat die Länge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span>, die <i>lange Diagonale</i> hat die Länge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e=f{\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=f{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43f761f5715425ee4d99be51982dc3319b1a48f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.559ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle e=f{\sqrt {2}}}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Die <i>Kantenlänge</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> des Rhombendodekaeders ist gleich der Länge einer Rhombusseite (siehe unteres Bild)

</p>

<msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\sqrt {(e/2)^{2}+(f/2)^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}f\ }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00c55b20616074a72b89f9dbaa7d7580b50b5de3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.124ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle a={\sqrt {(e/2)^{2}+(f/2)^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}f\ }" loading="lazy"></span> und</dd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f={\frac {2a}{3}}{\sqrt {3}},\quad e={\frac {2a}{3}}{\sqrt {6}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc0ca736848080576dd876457614350c99cc730b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.569ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f={\frac {2a}{3}}{\sqrt {3}},\quad e={\frac {2a}{3}}{\sqrt {6}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Oberfläche_und_Volumen"><span id="Oberfl.C3.A4che_und_Volumen"></span>Oberfläche und Volumen</h3></div>

<p>Die <i>Oberfläche</i> ist gleich 12 mal der Fläche eines Rhombus.

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{O}=12\cdot {\frac {e\cdot f}{2}}=8{\sqrt {2}}\;a^{2}\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0684c5a04eaad3fc0db5d7bd8dec1df664f94c8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:26.725ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle A_{O}=12\cdot {\frac {e\cdot f}{2}}=8{\sqrt {2}}\;a^{2}\ .}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Das <i>Volumen</i> des Rhombendodekaeders ist gleich dem Volumen des Würfels plus 6 mal dem Volumen einer Pyramide. Da eine Pyramide halb so hoch ist wie der Würfel, füllen die Pyramiden nach Drehen der Spitzen nach innen den Würfel voll aus. Das Volumen des Rhombendodekaeders ist also

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=2f^{3}={\frac {16}{9}}{\sqrt {3}}\;a^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e21849c98d3207e40f5c3090d208ccb4bbadb01b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.71ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V=2f^{3}={\frac {16}{9}}{\sqrt {3}}\;a^{3}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Um-,_In-_und_Kanten-Kugelradien"><span id="Um-.2C_In-_und_Kanten-Kugelradien"></span>Um-, In- und Kanten-Kugelradien</h3></div>

<p>Die <i>Umkugel</i> geht durch die Spitzen der Pyramiden und hat den Radius

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ r_{u}=f={\frac {2a}{3}}{\sqrt {3}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b71463555d558d27c64bdd3b67e6079170d5d1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.604ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \ r_{u}=f={\frac {2a}{3}}{\sqrt {3}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Die Umkugel enthält aber nicht die Würfelpunkte des Rhombendodekaeders!

</p><p>Die <i>Inkugel</i> berührt die Rhomben und hat den Radius (siehe Bild)

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ r_{i}={\frac {e}{2}}={\frac {f}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d6f40e73799cb90d4023b5d031fa31f63e8133c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.1ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \ r_{i}={\frac {e}{2}}={\frac {f}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Für den Kantenkugel-Radius und den Winkel zwischen einer Kante und einem Rhombus ist der in dem unteren Bild eingezeichnete <i>Steigungswinkel</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span> einer Pyramidenkante wesentlich. Für ihn gilt:

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \varphi ={\tfrac {e/2}{a}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\to \varphi \approx 35{,}26^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c89b8bc61dc1bec25f8d5473dd404e74045705f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:33.027ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \cos \varphi ={\tfrac {e/2}{a}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\to \varphi \approx 35{,}26^{\circ }}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Damit folgt für den <i>Kantenkugelradius</i>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k}=f\cos \varphi ={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}f={\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}a\ }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/423c8cc7d8f344c0f6b5d69ad215c8bb0e8ac968.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.285ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r_{k}=f\cos \varphi ={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}f={\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}a\ }" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Der <i>Inkreisradius</i> eines Rhombus ist

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ={\frac {f}{2}}\cos \varphi ={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/743964e679f765db2379c89d9578b6733afec195.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.083ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \rho ={\frac {f}{2}}\cos \varphi ={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkel">Winkel</h3></div>

<p>Der <i>Winkel zwischen Kante und Rhombus</i> ist (siehe Bild)

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =90^{\circ }+\varphi \approx 125{,}26^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/116af25640660afc132bfb35ded5289aa7edad31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.712ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma =90^{\circ }+\varphi \approx 125{,}26^{\circ }}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \cos \gamma =-\sin \varphi =-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28bd496931b95ddf5930bb86bd140bfa0d7303cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.788ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \ \cos \gamma =-\sin \varphi =-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Der <i>Winkel zwischen zwei Rhomben</i> ist gleich dem Winkel zwischen zwei Dreiecken einer Pyramide. Entweder man berechnet den Winkel mit Hilfe der Flächennormalen oder verwendet die Formel aus dem Artikel über Pyramiden. Es ergibt sich

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =120^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b063a232bf1c6c31ba34b1b1eddcd0e0594c2c41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.972ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \beta =120^{\circ }}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Die <i>Winkel in einem Rhombus</i> sind (siehe unteres Bild)

</p>

<dl><dd>kleiner Winkel: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \delta _{1}=2\varphi \approx 70{,}53^{\circ }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \delta _{1}=2\varphi \approx 70{,}53^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5c9cee25372b2a2bec6ce9504d8597ea15a03eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.898ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \delta _{1}=2\varphi \approx 70{,}53^{\circ }}" loading="lazy"></span>.</dd>

<dd>großer Winkel: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \delta _{2}=180^{\circ }-\delta _{1}\approx 109{,}47^{\circ }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \delta _{2}=180^{\circ }-\delta _{1}\approx 109{,}47^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d240290d5eac2cb7f9ba97f0292461aee11b07df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.846ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \delta _{2}=180^{\circ }-\delta _{1}\approx 109{,}47^{\circ }}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Da 6 umgedrehte Pyramiden den Raum des Würfels voll ausfüllen, ist der <i>Raumwinkel in einer Pyramidenspitze</i> 1/6 des vollen Raumwinkels:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega _{4}={\frac {1}{6}}\cdot 4\pi ={\frac {2}{3}}\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12650b29ea8d76eda5938d52e464aab97171f491.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.432ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega _{4}={\frac {1}{6}}\cdot 4\pi ={\frac {2}{3}}\pi }" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Für den <i>Raumwinkel</i> in einem Punkt mit 3 Kanten (Würfelpunkt) ergibt sich aus der Ebenen-Formel im Artikel <a href="Raumwinkel#Ebenen-Formel" title="Raumwinkel">Raumwinkel</a>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega _{3}=3\beta -\pi =\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6284e8152bcecd4ce050c0de6b715e7a319807b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.928ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Omega _{3}=3\beta -\pi =\pi }" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Parkettierung">Parkettierung</h3></div>

<p>Zerlegt man den Raum so in gleich große rote und grüne Würfel, dass jeder rote Würfel nur von grünen Würfeln und umgekehrt umgeben ist, zerlegt jeden grünen Würfel in 6 Pyramiden mit dem Mittelpunkt als Spitze, klebt jede Pyramide an den benachbarten roten Würfel, mit dem sie ein Quadrat gemeinsam hat, so entstehen Rhombendodekaeder, die den Raum überdecken.

</p><p>Das Bild zeigt eine Parkettierung des Raumes mit Rhombendodekaedern. Zwei benachbarte Polyeder haben entweder einen Rhombus gemeinsam oder nur einen Punkt (Kegelspitze). Die einbeschriebenen Würfel sind dunkelrot. In einer Pyramidenspitze treffen 6 Polyeder zusammen, in einer Würfelecke sind es 4.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorkommen">Vorkommen</h2></div>

<ul><li>In der Natur kommt das Rhombendodekaeder als typische <a href="Kristallform" class="mw-redirect" title="Kristallform">Kristallform</a> bei Mineralen der <a href="Granatgruppe" title="Granatgruppe">Granatgruppe</a> vor und wird daher auch <i>Granatoeder</i> genannt. Es kann als spezielle Form {110} in allen <a href="Kubisches_Kristallsystem" title="Kubisches Kristallsystem">kubischen</a> <a href="Punktgruppe" title="Punktgruppe">Kristallklassen</a> auftreten.</li>

<li>Die erste <a href="Brillouin-Zone" title="Brillouin-Zone">Brillouin-Zone</a> des <a href="Kubisch-raumzentriertes_Gitter" class="mw-redirect" title="Kubisch-raumzentriertes Gitter">kubisch innenzentrierten Gitters</a> hat die Form eines Rhombendodekaeders.</li>

<li>Das Rhombendodekaeder ist eine dreidimensionale Projektion eines vierdimensionalen Würfels (<a href="Tesserakt" title="Tesserakt">Tesserakt</a>).</li></ul>

<div class="gallerytext"><a href="Andradit" title="Andradit">Andradit</a>-<a href="Einkristall" title="Einkristall">Einkristall</a> als Vertreter der <a href="Granatgruppe" title="Granatgruppe">Granatgruppe</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Parallelprojektion" title="Parallelprojektion">Parallelprojektion</a> eines <a href="Tesserakt" title="Tesserakt">Tesserakts</a></div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-a-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-a_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Kantenlänge <i>a</i></span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski: <i>Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter.</i> Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-8348-9230-0, S. 47.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rhombic_dodecahedron?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Rhombendodekaeder</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Rhombendodekaeder" class="extiw external" title="wikt:Rhombendodekaeder">Wiktionary: Rhombendodekaeder</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/RhombicDodecahedron.html"><i>Rhombendodekaeder</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li>

<li><a href="https://www.mineralienatlas.de/lexikon/index.php/Rhombendodekaeder" class="extiw external" title="mineralienatlas:Rhombendodekaeder">Mineralienatlas:Rhombendodekaeder</a> Interaktive Darstellung des Rhombendodekaeders im <a href="Mineralienatlas" title="Mineralienatlas">Mineralienatlas</a></li></ul>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output div.klappleiste{border:1px solid var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;box-sizing:border-box;margin-top:1.5em;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste:after{clear:both;content:"";display:block}.mw-parser-output div.klappleiste-bild{float:left;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste-kopf{background:var(--dewiki-hintergrundfarbe5);color:var(--color-base,#202122);text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output div.klappleiste.mw-collapsed .klappleiste-bild{display:none}.mw-parser-output div.klappleiste+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+link+div.klappleiste{margin-top:-1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="klappleiste-kopf"><a href="Catalanischer_K%C3%B6rper" title="Catalanischer Körper">Catalanische Körper</a></div>

<p><a href="Triakistetraeder" title="Triakistetraeder">Triakistetraeder</a> ·

<a class="mw-selflink selflink">Rhombendodekaeder</a> ·

<a href="Tetrakishexaeder" title="Tetrakishexaeder">Tetrakishexaeder</a> ·

<a href="Triakisoktaeder" title="Triakisoktaeder">Triakisoktaeder</a> ·

<a href="Deltoidalikositetraeder" title="Deltoidalikositetraeder">Deltoidalikositetraeder</a> ·

<a href="Pentagonikositetraeder" title="Pentagonikositetraeder">Pentagonikositetraeder</a> ·

<a href="Rhombentriakontaeder" title="Rhombentriakontaeder">Rhombentriakontaeder</a> ·

<a href="Hexakisoktaeder" title="Hexakisoktaeder">Hexakisoktaeder</a> ·

<a href="Pentakisdodekaeder" title="Pentakisdodekaeder">Pentakisdodekaeder</a> ·

<a href="Triakisikosaeder" title="Triakisikosaeder">Triakisikosaeder</a> ·

<a href="Deltoidalhexakontaeder" title="Deltoidalhexakontaeder">Deltoidalhexakontaeder</a> ·

<a href="Pentagonhexakontaeder" title="Pentagonhexakontaeder">Pentagonhexakontaeder</a> ·

<a href="Hexakisikosaeder" title="Hexakisikosaeder">Hexakisikosaeder</a> 

</p>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-05-18" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Rhombendodekaeder&oldid=256101135">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>